Impulsul mecanic si ciocniri
Impulsul mecanic al unui punct material este marimea fizica vectoriala definita prin produsul dintre
masa m si vectorul viteza v
p = mv (11)
Conform ecuatiei fundamentale a dinamicii F = Δp / Δt, de unde
FΔt = Δp (12)
ecuatie ce exprima teorema de variatie a impulsului mecanic pentru un punct material.
Teorema de variatie
Impulsul fortei sau rezultantei fortelor ce se exercita asupra unui punct material este egal cu variatia
impulsului mecanic al acestuia.
H = FΔt, impulsul fortei sau rezultantei fortelor
Punctul material este izolat mecanic daca F = 0 si din (12) rezulta
Δp = 0, p = constant, pi = pf (13)
legea de conservare a impulsului mecanic pentru un punct material.
Legea conservarii impulsului mecanic
Impulsul mecanic al unui punct material izolat mecanic se conserva.
In cazul unui sistem de puncte materiale se scrie teorema de variatie (12) pentru pentru fiecare punct
material
( Fe + Fi )Δt = Σpj , j = 1,2,...,n (14)
unde Fe reprezinta rezultanta fortelor externe ce se exercita asupra punctului material, Fi rezultanta
fortelor interne ce se exercita asupra punctului material de catre celelalte puncte materiale din sistem si
n numarul punctelor materiale ce alcatuiesc sistemul.
Prin adunarea ecuatiilor (14) se obtine teorema de variatie a impulsului mecanic pentru un sistem de
puncte materiale
FΔt = ΔP (15)
Teorema de variatie
Impulsul rezultantei fortelor externe ce se exercita asupra unui sistem de puncte materiale este egal
cu variatia impulsului mecanic al sistemului.
unde F = ∑ Fe este rezultanta fortelor externe ce se exercita asupra sistemului in ansamblu, ∑Fi = 0
deoarece fortele interne ce se exercita intre oricare doua puncte materiale ale sistemului satisfac
principiul actiunii si reactiunii si ΔP = Δp1 + Δp2 +...+Δpn.
Fortele interne Fi pot realiza un transfer de impuls mecanic intre punctele materiale ale sistemului fara sa
modifice impulsul mecanic al sistemului in ansamblu, sa produca o variatie a acestuia.
Legea conservarii impulsului mecanic
Impulsul mecanic al unui sistem de puncte materiale izolat mecanic, F = 0, se conserva.
ΔP = 0, Pi = Pf , P = constant (16)
Omogenitate spatiului este o consecinta importanta a conservarii impulsului mecanic si consta in
independenta de locul in spatiu a proprietatilor fizice ale unui sistem de puncte materiale.
Proprietetile fizice ale sistemului de puncte materiale raman aceleasi la translatarea arbitrara a acestuia
dintr-un loc in altul intr-un spatiu omogen.
Ciocnirea este fenomenul fizic ce consta in interactiunea a doua sau mai multe corpuri intr-un interval de
timp foarte mic, Δt→0.
Deoarece Δt→0, FΔt→0 si din (15) rezulta
ΔP = 0, Pi = Pf , P = constant
conservarea impulsului mecanic in orice ciocnire.
Ciocnirea plastica este ciocnirea in care in urma interactiunii corpurile devin solidare, continuand sa se
miste impreuna ca un singur corp, ansamblu.
Dezintegrarea privita in sens invers producerii devine o ciocnire plastica.
Consideram doua puncte materiale care au masele m1 si m2 , respectiv vitezele v1 si v2 in momentul
ciocnirii. Deoarece impulsul mecanic se conserva in orice ciocnire rezulta
p1 + p2 = p, m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v′
v′ = (m1v1 + m2v2) / (m1 + m2)
v′ viteza ansamblului rezultat in urma ciocnirii plastice a celor doua corpuri.
In caz unidimensional corpurile se misca pe aceeasi directie si
v′ = (m1v1 ± m2v2) / (m1 + m2)
unde se ia semnul + cand corpurile se misca in acelasi sens si semnul - cand cand se misca unul spre
celalalt
In ciocnirea plastica o parte din energia cinetica initiala a corpurilor se transforma in caldura degajata Q.
Q = - ΔEc , Q = m1m2(v1 - v2)2 / 2(m1 +m2), Q = μrvr2 / 2,
unde μr = m1m2 / (m1 + m2) este masa redusa a sistemului format din cele doua puncte materiale si vr =
v1 - v2.
Ciocnire elastica este ciocnirea in care in urma interactiunii cele doua corpuri se misca separat cu viteze
finale diferite de cele initiale, inainte de ciocnire.
Ciocnirea perfect elastica este ciocnirea elastica in care se conserva energia cinetica a corpurilor.
Din conservarea impulsului mecanic si a energiei cinetice rezulta vitezele celor doua corpuri dupa ciocnire
v′1 = [2(m1v1 + m2v2) / (m1 + m2)] - v1
v′2 = [2(m1v1 + m2v2) / (m1 + m2)] - v2
in caz unidimensional cand corpurile se ciocnesc frontal vitezele se iau in marime sau modul
v′1 = [2(m1v1 + m2v2) / (m1 + m2)] - v1
v′2 = [2(m1v1 + m2v2) / (m1 + m2)] - v2
Dintre cazurile particulare cel al cionirii cu un perete m2 >> m1
conduce la
v′1 = 2v2 - v1 si v′2 = v2
Lucrul mecanic si conservarea energiei
Lucrul mecanic L este marimea fizica scalara de proces ce caracterizeaza procesele mecanice.
[L]SI = 1J
Lucrul mecanic L efectuat de o forta F ce isi deplaseaza punctul de aplicatie cu Δr se defineste ca
produsul scalar
L = F•Δr , L = FΔr cos α, F(r) = constant, (1)
α este unghiul format de directia fortei cu directia vectorului deplasare Δr.
Forta F efectueaza un lucru mecanic motor Lm cand 0 < α < 90o
LG = Gh = mgh, α = 0 cand corpul coboara
Forta F efectueaza un lucru mecanic rezistent Lr cand
90o < α < 180o ,
LFf = - FfΔr, α = 180o
Lucrul mecanic poate fi determinat ca aria suprafetei marginita de graficul fortei F(r), segmentul de
dreapta corespuzator punctelor intre care se deplaseaza punctul de aplicatie al fortei si verticalele
corespunzatoare pozitiei initiale si finale.
LFe = - kx2 / 2,
aria triunghiului dreptunghic marginit de graficul fortei elastice Fe = - kx.
Fortele gravitationala si eastica sunt forte conservative deoarece L efectuat de acestea depinde doar de
pozitiile initiala si finala, fiind independent de forma traiectoriei si de legea miscarii.
Puterea mecanica este marimea fizica scalara ce reprezinta lucrul mecanic efectuat in unitatea de timp,
viteza cu care se efectueaza L. [P]SI = 1W
P = L / Δt, P = FΔr / Δt , P = Fvm si P = Fv, cand F = constant si v = constant
(2)
Randamentul mecanic
Energia E este marimea fizica de stare, scalara ce caracterizeaza capacitatea unui sistem fizic de a
efectua lucru mecanic. [E]SI = 1J
E = Ec + Ep (3)
Energia cinetica Ec este marimea fizica scalara ce caracterizeaza capacitatea unui sistem fizic in miscare
de a efectua lucru mecanic.
Orice corp in miscare fata de un SRI poate efectua un lucru mecanic, poate pune in miscare alte corpuri.
Ex. O bila de biliard in miscare poate pune in miscare o alta bila aflat in repaus.
Energia cinetica a unui punct material in miscare este egala cu semiprodusul dintre masa si patratul
vitezei acestuia.
Ec = mv2 / 2 (4)
Teorema de variatie
Variatia energiei cinetice a unui punct material ce se misca in raport cu un SRI este egala cu lucrul
mecanic efectuat de rezultanta fortelor ce se exercita asupra punctului material.
ΔEc = L (5)
Energia potentiala Ep este marimea fizica scalara ce caracterizeaza capacitatea unui sistem fizic de a
efectua lucru mecanic prin modificarea configuratiei sau pozitiei partilor componente.
Ex. Un corp aflat la inaltimea h fata de suprafata Pamantului are energie potentiala deoarece poate
efectua lucru mecanic prin cadere, modificarea pozitiei sau inaltimii fata de Pamant.
Un resort comprimat sau alungit poate efectua lucru mecanic prin modificarea pozitiei spirelor unele fata
de altele.
Teorema de variatie
Variatia energiei potentiale a unui sistem fizic in care se manifesta forte conservative este egala cu
lucrul mecanic efectuat de acestea luat cu semnul minus.
ΔEp = - LFc (6)
LFc lucrul mecanic efectuat de forta conservativa.
Ep = mgh, (7)
energia potentiala gravitationala a unui corp aflat la inaltimea h fata de nivelul de referinta ales in mod
arbitrar.
Monitorul de pe birou are Ep > 0 in raport cu podeaua, poate efectua lucru mecanic in cadere pana ajunge
pe podea, si Ep < 0 in raport cu tavanul, asupra acestuia se efectueaza un lucru mecanic pentru al ridica la
tavan.
Epe = kx2 / 2 (8)
energia potentiala elastica, existenta intr-un corp deformat ealstic.
Legea conservarii energiei mecanice
Energia mecanica E a unui sistem fizic izolat mecanic in care se exercita forte conservative se conserva,
ramane constanta in procesul de transformare din Ec in Ep si invers.
Legea conservarii energiei mecanice se exprima pritr-o egalitate.
E = constant, ΔE = 0 , Ei = Ef , Eci + Epi = Ecf + Epf (10)
Observatie
In rezolvarea problemelor de fizica se foloseste :
Ei = Ef , cand frecarea este neglijabila, Ff = 0;
ΔEc = L , cand Ff ≠ 0.
Miscarea circulara
Miscarea circulara uniforma
Un mobil se misca circular uniform cand traiectoria este un cerc, vectorul viteza v(t) este variabil in timp ca orientare si are marimea constanta, v(t) = constant.
Miscarea circulara uniforma este periodica deoarece mobilul trece prin aceeasi pozitie, stare mecanica, in raporat cu SR ales la intervale de timp egale.
Perioada, T, este intervalul de timp in care se efectueaza o rotatie completa. Este durata in care mobilul descrie un cerc.
Care sunt perioadele varfurilor acelor de ceasornic?
T = Δt / n
Frecventa, v, reprezinta numarul de rotatii complete efectuat in unitatea de timp.
v = n / Δt, v = 1 / T
Pozitia unui mobil ce se misca circular uniform in raport cu un punct de pe cerc ales ca SR se stabileste cu ajutorul lungimii arcului de cerc s(t) sau cu ajutorul unghiului la centru, θ(t), pe care il face raza corespunzatoare pozitiei mobilului pe cerc cu raza punctului corespunzator SR.
Deoarece v(t) = constant, v(t) = vm si v(t) = .s(t) / .t, de unde rezulta
s(t) = s0(t0) + v(t - t0 ) (7)
legea miscarii circulare uniforme exprimata cu ajutorul vitezei liniare v.
Sau
θ(t) = θ0(t0) + ω(t - t0 ) (8)
legea miscarii circulare uniforme exprimata cu ajutorul vitezi unghilare ω(t).
Viteza unghiulara, ω(t), reprezinta variatia unghiului la centru, θ(t), ω(t) = Δθ(t) / Δt, in unitatea de timp.
[ω]SI = 1rad / s.
Radianul (rad) este masura unghiului la centru care subintinde un arc de cerc a carui lungime este egala cu raza cercului R.
Din geometrie se stie ca
s(t) = RΔθ(t)
din
v(t) = Δs(t) / Δt rezulta v(t) = RΔθ(t) / Δt si v(t) = Rω(t), v = Rω
In miscarea circulara uniforma orientarea vectorului viteza este variabila, se schimba in orice moment.
Acceleratia centripeta acp(t), vectorul orientat spre centrul cercului, reprezinta variatia vectorului viteza v(t) in unitatea de timp.
Marimea vectorului acceleratie centripeta acp(t) este acp = v2 / R,
acp = ω2R.
Miscarea rectilinie uniform variata
Un mobil se misca rectiliniu uniform variat cand a(t) = constant.
Deoarece a = constant, acceleratia medie si cea momentana sunt aceleasi in orice moment, a = am.
Miscarea fiind unidimensionala
am = Δv(t) / Δt sau am = [v(t) - v0(t0)] / (t - t0)
a = Δv(t) / Δt sau a = [v(t) - v0(t0)] / (t - t0)
de unde rezulta legea vitezei
v(t) = v0(t0) + a(t - t0) (4)
care exprima dependenta de timp a vitezei mobilului.
Functia fiind un plinom de gradul intai dependenta vitezei de timp este liniara.
Miscarea este accelerata cand a>0, viteza creste.
Miscarea este incetinita cand a<0, viteza scade.
Pentru a stabili legea miscarii rectilinii uniform variate, expresia functiei ce exprima dependenta
cordonatei de timp, folosim expresia vitezei medii in cazul miscarii unidimensionale
vm = [x(t) - x0(t0)] / (t - t0)
si
vm = [v(t) + v0(t0)] / 2
folosirea mediei aritmetice este posibila deoarece v(t) depinde liniar de timp.
Din egalarea expresiilor vitezei medii si inlocuind v(t) conform legii vitezei se obtine legea miscarii
rectilinii uniform variate
x(t) = x0(t0) + v0(t - t0) + [a(t - t0)2] / 2 (5)
care exprima dependenta de timp a coordonatei mobilului sau distantei acestuia fata de SR.
Functia ce exprima aceasta dependenta este un polinom de gradul al doilea, dependenta patratica, al carei grafic este o parte dintr-o parabola.
Prin eliminarea timpului din expresiile legilor (4) si (5) se obtine ecuatia Galilei
v2 = v02 + 2aΔx (6)
